第2课时　奇偶性的应用

学习目标　1.掌握用奇偶性求解析式的方法.2.理解奇偶性对单调性的影响并能用以解不等式.3.了解函数的奇偶性的推广--对称性．

知识点一　用奇偶性求解析式

如果已知函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，想求关于原点的对称区间[－b，－a]上的解析式，其解决思路为：

(1)"求谁设谁"，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设．

(2)要利用已知区间的解析式进行代入．

(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)．

特别提醒：若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)＝0，但若为偶函数，未必有f(0)＝0.

知识点二　奇偶性与单调性

思考　观察偶函数y＝x2与奇函数y＝在(－∞，0)和(0，＋∞)上的单调性，你有何猜想？

答案　偶函数y＝x2在(－∞，0)和(0，＋∞)上的单调性相反；奇函数y＝在(－∞，0)和(0，＋∞)上的单调性相同．

梳理　一般地，若函数f(x)为奇函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单调性；若函数f(x)为偶函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间[a，b]和[－b，－a]上具有相反的单调性．

知识点三　奇偶性的推广

一般地，对于定义域内任意x，

(1)若f(a－x)＝2b－f(a＋x)，则f(x)的图象关于点(a，b)对称．当a＝b＝0时，即为奇函数的定义．

(2)若f(a－x)＝f(a＋x)，则f(x)的图象关于直线x＝a对称，当a＝0时，即为偶函数的定义．

1．奇函数f(x)＝，当x>0时的解析式与x<0时的解析式相同，所以一般的奇函数在(0，＋∞)上的解析式与(－∞，0)上的解析式也相同．(×)