题点　利用奇偶性求函数的解析式

解　∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，

∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，

由f(x)＋g(x)＝.①

用－x代替x，

得f(－x)＋g(－x)＝，

∴f(x)－g(x)＝，②

(①＋②)÷2，得f(x)＝；

(①－②)÷2，得g(x)＝.

反思与感悟　f(x)＋g(x)＝对定义域内任意x都成立，所以可以对x任意赋值，如x＝－x.

因为f(x)，g(x)一奇一偶，才能把－x的负号或提或消，最终得到关于f(x)，g(x)的二元方程组，从中解出f(x)和g(x)．

跟踪训练2　设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋2x，求函数f(x)，g(x)的解析式．

考点　函数奇偶性的应用

题点　利用奇偶性求函数的解析式

解　∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，

∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，

由f(x)＋g(x)＝2x＋x2.①

用－x代替x，

得f(－x)＋g(－x)＝－2x＋(－x)2，

∴f(x)－g(x)＝－2x＋x2，②

(①＋②)÷2，得f(x)＝x2；

(①－②)÷2，得g(x)＝2x.

类型二　奇偶性对单调性的影响

命题角度1　由x的取值情况推导fx的取值情况

例3　设f(x)是偶函数，在区间[a，b]上是减函数，试证f(x)在区间[－b，－a]上是增函数．

考点　抽象函数单调性与奇偶性

题点　抽象函数单调性、奇偶性综合