4．5定积分与微积分基本定理

　　[读教材·填要点]

　　1．曲边梯形的面积

　　(1)曲边梯形：位于曲线y＝f(x)(a≤x≤b)和x轴之间的图形，叫作函数y＝f(x)在区间[a，b]上的"曲边梯形"．

　　(2)曲边梯形面积的计算方法：化整为零、以直代曲，即把一个曲边梯形分成多个小曲边梯形，再用矩形代替小曲边梯形．

　　2．计算变力所做的功的方法

　　化整为零，以直代曲．

　　3．定积分的概念

　　设f(x)是在区间[a，b]上有定义的函数，在a，b之间取若干分点a＝x0＜x1＜x2＜...＜xn＝b.

　　记小区间[xk－1，xk]为Δk，其长度xk－xk－1记作Δxk，Δxk中最大的记作d，再在每个小区间Δk上任取一点代表点zk，作和式：(zk)Δxk .　①

　　如果(不论如何取分点xk和代表点zk)当d趋于0时和式①以S为极限，就说函数f(x)在[a，b]上可积，并且说S是f(x)在[a，b]上的定积分，记作S＝f(x)dx.

　　4．微积分基本定理

　　如果f(x)是在[a，b]上有定义的连续函数，F(x)在[a，b]上可导并且F′(x)＝f(x)，

　　则 f(t)dt＝F(b)－F(a)．

　　[小问题·大思维]

　　1．求曲边梯形面积时，对曲边梯形进行"以直代曲"，怎样才能尽量减小求得的曲边梯形面积的误差？

　　提示：为了减小近似代替的误差，需要先分割再分别对每个小曲边梯形"以直代曲"，而且分割的曲边梯形数目越多，得到的面积的误差越小．

　　2．求曲边梯形的面积与计算变速直线运动的路程有哪些相同点？

　　提示：(1)求曲边梯形的面积与求变速直线运动的路程的共同本质是"以直代曲""以不变代变"的思想方法．

(2)求解的方法步骤相同．