2019年数学新同步湘教版选修2-2讲义+精练:第4章 4.5 定积分与微积分基本定理 Word版含解析
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  4.5定积分与微积分基本定理

  

  [读教材·填要点]

  1.曲边梯形的面积

  (1)曲边梯形:位于曲线y=f(x)(a≤x≤b)和x轴之间的图形,叫作函数y=f(x)在区间[a,b]上的"曲边梯形".

  (2)曲边梯形面积的计算方法:化整为零、以直代曲,即把一个曲边梯形分成多个小曲边梯形,再用矩形代替小曲边梯形.

  2.计算变力所做的功的方法

  化整为零,以直代曲.

  3.定积分的概念

  设f(x)是在区间[a,b]上有定义的函数,在a,b之间取若干分点a=x0<x1<x2<...<xn=b.

  记小区间[xk-1,xk]为Δk,其长度xk-xk-1记作Δxk,Δxk中最大的记作d,再在每个小区间Δk上任取一点代表点zk,作和式:(zk)Δxk . ①

  如果(不论如何取分点xk和代表点zk)当d趋于0时和式①以S为极限,就说函数f(x)在[a,b]上可积,并且说S是f(x)在[a,b]上的定积分,记作S=f(x)dx.

  4.微积分基本定理

  如果f(x)是在[a,b]上有定义的连续函数,F(x)在[a,b]上可导并且F′(x)=f(x),

  则 f(t)dt=F(b)-F(a).

  [小问题·大思维]

  1.求曲边梯形面积时,对曲边梯形进行"以直代曲",怎样才能尽量减小求得的曲边梯形面积的误差?

  提示:为了减小近似代替的误差,需要先分割再分别对每个小曲边梯形"以直代曲",而且分割的曲边梯形数目越多,得到的面积的误差越小.

  2.求曲边梯形的面积与计算变速直线运动的路程有哪些相同点?

  提示:(1)求曲边梯形的面积与求变速直线运动的路程的共同本质是"以直代曲""以不变代变"的思想方法.

(2)求解的方法步骤相同.