设在图中a＜r＜b区域内只有径向电场，电势分布为U＝klnb／r，其中ｋ为常量.由此电势分布可得出电场强度分布为E＝ｋ／r.现有一质量为m、初速为v０、带电量为－q的粒子从左方A处射入，且v０既与圆柱面轴线垂直又与入射处的圆柱的直径垂直（不计带电粒子的重力）.

图5

　　（1）试问v０为何值时可使粒子沿半径为R（R＞a）的半圆轨道运动?

　　（2）若粒子的入射方向与上述v０偏离一个很小的角度β（仍然在图5所示的纸面内），其它条件不变，则粒子将偏离（1）中的半圆轨道．设新轨道与原半圆轨道相交于P点.试证明：对于很小的β角，P点的位置与β角无关，并求出P点的方位角θ＝∠AOP的数值.

　　分析与解　（1）根据带电粒子在径向电场中做圆周运动的条件，即带电粒子所受的电场力等于粒子沿径向指向圆心O的向心力，得

　　　　　（mv０2／R）＝qE＝（qk／R），则ｖ０＝.

　　（2）带电粒子运动轨迹看似比较复杂，但考虑到β较小，粒子沿切向的分速度为vt＝v０cosβ≈v０，径向的分速度vr＝v０sinβ≈v０β很小．若运用力和运动独立性原理，则把此复杂的运动可构建为沿着半径为R的匀速圆周运动和径向的振幅较小的简谐运动的复合运动.粒子沿径向做简谐运动的平衡位置为r０＝Ｒ，设振动时的微小位移为x，回复力Fr满足

　　　　　－qk／（r０＋x）＝Ｆr－mv2t／（r０＋x），

即　　Fr＝－［qk／（r０＋x）－mv2t/（r０＋x）］，

由角动量守恒，得

　　　　　mv０r０＝mvt（ro＋x），

由于xr０，运用数学近似处理，有

　　　　　1／（r０＋x）≈（1－x／r０）／r０，