求线面角 　　　　

　　[例2]　(湖南高考)如图，在直棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AC⊥BD，BC＝1，AD＝AA1＝3.

　　(1)证明：AC⊥B1D；

　　(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值．

　　[思路点拨]　以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．

　　(1)求出和，证明·＝0；

　　(2)求出直线B1C1的方向向量与平面ACD1的法向量．

　　[精解详析]　(1)证明：易知，AB，AD，AA1两两垂直．如图，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．设AB＝t，则相关各点的坐标为A(0,0,0)，B(t,0,0)，B1(t,0,3)，C(t,1,0)，C1(t,1,3)，D(0,3,0)，D1(0,3,3)．

　　从而＝(－t,3，－3)，＝(t,1,0)，＝(－t,3,0)．

　　因为AC⊥BD，所以·＝－t2＋3＋0＝0，

　　解得t＝或t＝－(舍去)．

　　于是＝(－，3，－3)，＝(，1,0)．

　　因为·＝－3＋3＋0＝0，

　　所以⊥，即AC⊥B1D.

　　(2)由(1)知，＝(0,3,3)，＝(，1,0)，＝(0,1,0)．

　　设n＝(x，y，z)是平面ACD1的一个法向量，

　　则即

　　令x＝1，则n＝(1，－，)．

设直线B1C1与平面ACD1所成角为θ，则