猜想n条直线分割成线段或射线的条数f(n)=n2(n≥2),下面利用数学归纳法证明.
(1)当n=2时,显然成立.
(2)假设当n=k(k≥2,且k∈N+)时,
结论成立,f(k)=k2.
则当n=k+1时,设有l1,l2,...,lk,lk+1,共k+1条直线满足题设条件.
不妨取出直线l1,余下的k条直线l2,l3,...,lk,lk+1互相分割成f(k)=k2条射线或线段.
直线l1与这k条直线恰有k个交点,则直线l1被这k个交点分成k+1条射线或线段.k条直线l2,l3,...,lk-1中的每一条都与l1恰有一个交点,因此每条直线又被这一个交点多分割出一条射线或线段,共有k条.
故f(k+1)=f(k)+k+1+k=k2+2k+1=(k+1)2,
∴当n=k+1时,结论正确.
由(1)(2)可知,上述结论对一切n≥2且n∈N+均成立.
题型四、数学归纳法的概念
例4用数学归纳法证明:1+a+a2+...+an+1=(a≠1,n∈N+),在验证n=1成立时,左边计算的结果是( )
A.1
B.1+a
C.1+a+a2
D.1+a+a2+a3
【精彩点拨】 注意左端特征,共有n+2项,首项为1,最后一项为an+1.
【自主解答】 实际是由1(即a0)起,每项指数增加1,到最后一项为an+1,所以n=1时,左边的最后一项应为a2,因此左边计算的结果应为1+a+a2.
【答案】 C
规律总结:
1.验证是基础:找准起点,奠基要稳,有些问题中验证的初始值不一定为1.
2.递推是关键:正确分析由n=k到n=k+1时式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障.
[再练一题]
4.当f(k)=1-+-+...+-,则f(k+1)=f(k)+________.
【解析】 f(k+1)=1-+-+...+-+-,
∴f(k+1)=f(k)+-.