高二数学人教A版选修4-5教案:4.1数学归纳法 Word版含解析
高二数学人教A版选修4-5教案:4.1数学归纳法 Word版含解析第5页

  猜想n条直线分割成线段或射线的条数f(n)=n2(n≥2),下面利用数学归纳法证明.

  (1)当n=2时,显然成立.

  (2)假设当n=k(k≥2,且k∈N+)时,

  结论成立,f(k)=k2.

  则当n=k+1时,设有l1,l2,...,lk,lk+1,共k+1条直线满足题设条件.

  不妨取出直线l1,余下的k条直线l2,l3,...,lk,lk+1互相分割成f(k)=k2条射线或线段.

  直线l1与这k条直线恰有k个交点,则直线l1被这k个交点分成k+1条射线或线段.k条直线l2,l3,...,lk-1中的每一条都与l1恰有一个交点,因此每条直线又被这一个交点多分割出一条射线或线段,共有k条.

  故f(k+1)=f(k)+k+1+k=k2+2k+1=(k+1)2,

  ∴当n=k+1时,结论正确.

  由(1)(2)可知,上述结论对一切n≥2且n∈N+均成立.

  题型四、数学归纳法的概念

  例4用数学归纳法证明:1+a+a2+...+an+1=(a≠1,n∈N+),在验证n=1成立时,左边计算的结果是(  )

  A.1

  B.1+a

  C.1+a+a2

  D.1+a+a2+a3

  【精彩点拨】 注意左端特征,共有n+2项,首项为1,最后一项为an+1.

  【自主解答】 实际是由1(即a0)起,每项指数增加1,到最后一项为an+1,所以n=1时,左边的最后一项应为a2,因此左边计算的结果应为1+a+a2.

  【答案】 C

  规律总结:

  1.验证是基础:找准起点,奠基要稳,有些问题中验证的初始值不一定为1.

  2.递推是关键:正确分析由n=k到n=k+1时式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障.

  [再练一题]

  4.当f(k)=1-+-+...+-,则f(k+1)=f(k)+________.

  【解析】 f(k+1)=1-+-+...+-+-,

∴f(k+1)=f(k)+-.