猜想n条直线分割成线段或射线的条数f(n)＝n2(n≥2)，下面利用数学归纳法证明．

　　(1)当n＝2时，显然成立．

　　(2)假设当n＝k(k≥2，且k∈N＋)时，

　　结论成立，f(k)＝k2.

　　则当n＝k＋1时，设有l1，l2，...，lk，lk＋1，共k＋1条直线满足题设条件．

　　不妨取出直线l1，余下的k条直线l2，l3，...，lk，lk＋1互相分割成f(k)＝k2条射线或线段．

　　直线l1与这k条直线恰有k个交点，则直线l1被这k个交点分成k＋1条射线或线段．k条直线l2，l3，...，lk－1中的每一条都与l1恰有一个交点，因此每条直线又被这一个交点多分割出一条射线或线段，共有k条．

　　故f(k＋1)＝f(k)＋k＋1＋k＝k2＋2k＋1＝(k＋1)2，

　　∴当n＝k＋1时，结论正确．

　　由(1)(2)可知，上述结论对一切n≥2且n∈N＋均成立．

　　题型四、数学归纳法的概念

　　例4用数学归纳法证明：1＋a＋a2＋...＋an＋1＝(a≠1，n∈N＋)，在验证n＝1成立时，左边计算的结果是(　　)

　　A．1

　　B．1＋a

　　C．1＋a＋a2

　　D．1＋a＋a2＋a3

　　【精彩点拨】　注意左端特征，共有n＋2项，首项为1，最后一项为an＋1.

　　【自主解答】　实际是由1(即a0)起，每项指数增加1，到最后一项为an＋1，所以n＝1时，左边的最后一项应为a2，因此左边计算的结果应为1＋a＋a2.

　　【答案】　C

　　规律总结：

　　1．验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定为1.

　　2．递推是关键：正确分析由n＝k到n＝k＋1时式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障．

　　[再练一题]

　　4．当f(k)＝1－＋－＋...＋－，则f(k＋1)＝f(k)＋________.

　　【解析】　f(k＋1)＝1－＋－＋...＋－＋－，

∴f(k＋1)＝f(k)＋－.