题型三、证明几何命题

　　例3平面内有n(n≥2，n∈N＋)条直线，其中任意两条不平行，任意三条不过同一点，那么这n条直线的交点个数f(n)是多少？并证明你的结论．

　　【精彩点拨】　(1)从特殊入手，求f(2)，f(3)，f(4)，猜想出一般性结论f(n)；(2)利用数学归纳法证明．

　　【自主解答】　当n＝2时，f(2)＝1 ；当n＝3时，f(3)＝3；

　　当n＝4时，f(4)＝6.

　　因此猜想f(n)＝ (n≥2，n∈N＋)．

　　规律总结：

　　下面利用数学归纳法证明：

　　(1)当n＝2时，两条相交直线有一个交点，

　　又f(2)＝×2×(2－1)＝1.

　　∴n＝2时，命题成立．

　　(2)假设当n＝k(k≥2且k∈N＋)时命题成立，就是该平面内满足题设的任何k条直线的交点个数为f(k)＝k(k－1)，

　　当n＝k＋1时，其中一条直线记为l，剩下的k条直线为l1，l2，...，lk.

　　由归纳假设知，剩下的k条直线之间的交点个数为f(k)＝.

　　由于l与这k条直线均相交且任意三条不过同一点，

　　所以直线l与l1，l2，l3，...，lk的交点共有k个，

　　∴f(k＋1)＝f(k)＋k＝＋k＝

　　＝＝，

　　∴当n＝k＋1时，命题成立．

　　由(1)(2)可知，命题对一切n∈N＋且n≥2时成立．

　　1．从特殊入手，寻找一般性结论，并探索n变化时，交点个数间的关系．

　　2．利用数学归纳法证明几何问题时，关键是正确分析由n＝k到n＝k＋1时几何图形的变化规律并结合图形直观分析，要讲清原因．

　　[再练一题]

　　3．在本例中，探究这n条直线互相分割成线段或射线的条数是多少？并加以证明．

【解】　设分割成线段或射线的条数为f(n)，则f(2)＝4，f(3)＝9，f(4)＝16.