考点二利用空间向量证明垂直与平行

　　向量作为工具来研究几何，真正把几何的形与代数中的数实现了有机结合；给立体几何的研究带来了极大的便利，利用空间向量可以方便地论证空间中的一些线面位置关系，如线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直等．用空间向量判断空间中的位置关系的常用方法如下．

(1)线线平行：证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量．

(2)线线垂直：证明两条直线垂直，只需证明两直线的方向向量垂直，则a⊥b⇔a·b＝0.

(3)线面平行：用向量证明线面平行的方法主要有：

　　①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；

　　②证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量；

　　③利用共面向量定理，即证明可在平面内找到两不共线向量线性表示直线的方向向量．

(4)线面垂直：用向量证明线面垂直的方法主要有：

　　①证明直线的方向向量与平面的法向量平行；

　　②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题．

(5)面面平行

　　①证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)；

　　②转化为线面平行、线线平行问题．

(6)面面垂直

　　①证明两个平面的法向量互相垂直；

　　②转化为线面垂直、线线垂直问题．

例2如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC，EF∥AC，AB＝，CE＝EF＝1.

(1)求证：AF∥平面BDE；

(2)求证：CF⊥平面BDE.

练习2．正方体ABCD­A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点，求证：平面AED⊥平面A1FD1.