9.凸n边形有f(n)条对角线,则凸n+1边形对角线的条数f(n+1)为(　　).

　　A.f(n)+n+1 B.f(n)+n

　　C.f(n)+n-1 D.f(n)+n-2

　　【解析】在凸n边形中,增加了1个顶点,就增加n+1-3条对角线,另外原来的一边也变成了对角线,故f(n+1)=f(n)+1+n+1-3=f(n)+n-1.故选C.

　　【答案】C

10.用数学归纳法证明:1/2^2 +1/3^2 +...+1/("(" n+1")" ^2 )>1/2-1/(n+2).假设当n=k时,不等式成立,则当n=k+1时,应推证的目标不等式是　.

　　【解析】将n=k+1代入左边的式子时,最后一项为1/("(" k+2")" ^2 ),则左边的式子为1/2^2 +1/3^2 +...+1/k^2 +1/("(" k+1")" ^2 )+1/("(" k+2")" ^2 ),右边的式子为1/2-1/(k+3).

　　【答案】1/2^2 +1/3^2 +...+1/k^2 +1/("(" k+1")" ^2 )+1/("(" k+2")" ^2 )>1/2-1/(k+3)

11.在各项均为正的数列{an}中,其前n项和Sn满足Sn=1/2 (a_n+1/a_n ).

(1)求a1,a2,a3的值;

(2)由(1)猜想数列{an}的通项公式,并用数学归纳法证明你的猜想.

　　【解析】(1)由S1=a1=1/2 (a_1+1/a_1 ),得a_1^2=1.因为an>0,所以a1=1.

　　由S2=a1+a2=1/2 (a_2+1/a_2 )得a_2^2+2a2-1=0.

　　又因为an>0,所以a2=√2-1.

　　由S3=a1+a2+a3=1/2 (a_3+1/a_3 )得a_3^2+2√2a3-1=0,所以a3=√3-√2.

　　(2)猜想an=√n-√(n"-" 1)(n∈N ).

　　用数学归纳法证明如下:

　　①当n=1时,a1=√1-√0=1,命题成立.

　　②假设当n=k(k∈N )时,ak=√k-√(k"-" 1)成立.

　　当n=k+1时,ak+1=Sk+1-Sk=1/2 (a_(k+1)+1/a_(k+1) )-1/2 (a_k+1/a_k ),即ak+1=1/2 (a_(k+1)+1/a_(k+1) )-1/2√k-√(k"-" 1)+1/(√k "-" √(k"-" 1))=1/2 (a_(k+1)+1/a_(k+1) )-√k

　　所以a_(k+1)^2+2√k ak+1-1=0.

　　又因为an>0,所以ak+1=√(k+1)-√k,

　　即当n=k+1时,命题成立.

　　由①②知,对任何的n∈N ,有an=√n-√(n"-" 1).