4.对于不等式√(n^2+n)

①当n=1时,√(1^2+1)<1+1,不等式成立;

②假设当n=k(k∈N )时,不等式成立,即√(k^2+k)

那么当n=k+1时,√("(" k+1")" ^2+"(" k+1")" )=√(k^2+3k+2)<√(k^2+3k+2+k+2)=√("(" k+2")" ^2 )=(k+1)+1,

故当n=k+1时,不等式成立.

则上述证法(　　).

　　A.过程全部正确

　　B.在n=1时,验证过程不正确

　　C.归纳假设不正确

　　D.从n=k到n=k+1的推理不正确

　　【解析】证明当n=k+1时不等式成立的过程中,没有用到当n=k时的假设,所以不是数学归纳法.

　　【答案】D

5.若f(n)=12+22+32+...+(2n)2(n∈N ),则f(k+1)与f(k)的递推关系式是　　　　　　　　.

　　【解析】因为f(k)=12+22+...+(2k)2,

　　所以f(k+1)=12+22+...+(2k)2+(2k+1)2+(2k+2)2,所以f(k+1)=f(k)+(2k+1)2+(2k+2)2.

　　【答案】f(k+1)=f(k)+(2k+1)2+(2k+2)2

6.设f(n)=1+1/2+1/3+...+1/(2n"-" 1)(n∈N ),那么f(n+1)-f(n)=　　　　.

　　【解析】∵f(n+1)=1+1/2+1/3+...+1/(2n"-" 1)+1/2n+1/(2n+1),∴f(n+1)-f(n)=1/2n+1/(2n+1).

　　【答案】1/2n+1/(2n+1)

7.平面上有n条直线,它们之间任何两条都不平行,任何三条都不共点.求证:这n条直线将平面分成(n"(" n+1")" )/2+1部分.

　　【解析】当n=1时,一条直线把平面分成两部分,(1×"(" 1+1")" )/2+1=2,所以当n=1时,命题成立;

　　假设当n=k时,命题成立,即k条直线把平面分成(k"(" k+1")" )/2+1部分,

　　则当n=k+1时,这k+1条直线中的k条直线把平面分成(k"(" k+1")" )/2+1部分,第k+1条直线与前k条直线共有k个新的交点,将第k+1条直线分成k+1部分,这时将平面多分成了k+1部分,即k+1条直线把平面分成(k"(" k+1")" )/2+1+(k+1)=("(" k+1")(" k+2")" )/2+1部分,所以当n=k+1时,命题也成立.

　　综上可知,原命题成立.

拓展提升(水平二)

8.用数学归纳法证明命题"当n是正奇数时,xn+yn能被x+y整除"时,第二步的证明,正确的证法是(　　).

　　A.假设当n=k(k∈N )时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立

　　B.假设当n=k(k是正奇数)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立

　　C.假设当n=k(k是正奇数)时命题成立,证明当n=k+2时命题也成立

　　D.假设当n=2k+1(k∈N)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立

　　【解析】∵n为正奇数,∴当n=k时,k后面第一个正奇数应为k+2,而非k+1.故选C.

【答案】C