（Ⅱ）①当直线AB的斜率不存在时，不妨取A，B，C，

　　故S△ABC＝×2×＝； -----------------------------------------------------4分

②当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，联立方程组得，化简得(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－2＝0，

　　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

　　x1＋x2＝，x1·x2＝，

　　|AB|＝

　　＝＝2·， ---------------------------8分

　　又点O到直线kx－y－k＝0的距离d＝＝，

　　∵O是线段AC的中点，

　　∴点C到直线AB的距离为2d＝， ------------------------------------------9分

　　∴S△ABC＝|AB|·2d＝··

　　＝2 ＝2 ＜.

　　综上，△ABC面积的最大值为. ------------------------------------------------12分

21．(本小题满分12分)

【解析】

（Ι）由f′(x)＝ >0⇒x<2，

所以f(x)在(－∞，2)单调递增，在(2，＋∞)单调递减；--------------------------2分

f(x)极大值＝f(2)＝e－2，无极小值； ------------------------------4分

（Ⅱ）证明：g(x)＝，记h(x)= f(x)-g(x)＝＋(x－3)ex

所以h′(x)＝＋[ex＋(x－3)ex]

　　　　＝＋(x－2)ex-4＝(x－2)，--------------------------------6分

　　当x>2时，h′(x) >0，∴h(x)在(2，＋∞)单调递增，

　　所以h(x)>h(2)＝0，即f(x)-g(x)>0

　　所以f(x) > g(x)；------------------------8分

（Ⅲ）证明：