如果点M在yOz平面上,则x=0；同样,zOx面上的点,y=0；xOy面上的点,z=0；如果点M在x轴上,则y=z=0；如果点M在y轴上,则x=z=0；如果点M在z轴上,则x=y=0；如果M是原点,则x=y=z=0.

空间点的位置可以由空间直角坐标系中的三个坐标唯一确定,因此,常称我们生活的空间为"三度空间或三维空间".事实上,我们的生活空间应该是四度空间,应加上时间变量t.即(x,y,z,t),它表示在时刻t所处的空间位置是(x,y,z).

（三）应用示例

思路1

例1 如图3,长方体OABC-D′A′B′C′中,|OA|=3,|OC|=4,|OD′|=2,写出D′,C,A′,B′四点的坐标.

图3

　　活动：学生阅读题目,对照刚学的知识,先思考,再讨论交流,教师适时指导,要写出点的坐标,首先要确定点的位置,再根据各自坐标的含义和特点写出.D′在z轴上,因此它的横纵坐标都为0,C在y轴上,因此它的横竖坐标都为0,A′为在zOx面上的点,y=0；B′不在坐标面上,三个坐标都要求.

　　解:D′在z轴上,而|OD′|=2,因此它的竖坐标为2,横纵坐标都为0,因此D′的坐标是(0,0,2).同理C的坐标为(0,4,0).A′在xOz平面上,纵坐标为0,A′的横坐标就是|OA|=3,A′的竖坐标就是|OD′|=2,所以A′的坐标就是(3,0,2).点B′在xOy平面上的射影是点B,因此它的横坐标x与纵坐标y同点B的横坐标x与纵坐标y相同,在xOy平面上,点B的横坐标x=3,纵坐标y=4;点B′在z轴上的射影是点D′,它的竖坐标与D′的竖坐标相同,点D′的竖坐标z=2,所以点B′的坐标是(3,4,2).

　　点评:能准确地确定空间任意一点的直角坐标是利用空间直角坐标系的基础,一定掌握如下方法,过点M作三个平面分别垂直于x轴、y轴和z轴,确定x,y和z,同时掌握一些特殊点的坐标的表示特征.

例2 讲解课本例2.

　　活动：学生阅读,思考与例1的不同,教师引导学生考虑解题的方法,图中没有坐标系,这就给我们解题带来了难度,同时也给我们的思维提供了空间,如何建立空间直角坐标系才能使问题变得更简单?一般来说,以特殊点为原点,我们所求的点在坐标轴上或在坐标平面上的多为基本原则建立空间直角坐标系,这里我们以上底面为xOy平面,其他不变,来看这15个点的坐标.

　　解:把图中的钠原子分成上、中、下三层,下层的钠原子全部在xOy平面上,因此其竖坐标全部是0,所以这五个钠原子所在位置的坐标分别为(0,0,0)、(1,0,0)、(1,1,0)、(0,1,0)、(,,0);中层的钠原子全部在与xOy平行的平面上,与z轴交点的竖坐标是,所以这四个钠原子所在位置的坐标分别为(,0,)、(1,,)、(,1,)、(0,,);上层的钠原子全部在与xOy平行的平面上,与z轴交点的竖坐标是1,所以这五个钠原子所在位置的坐标分别为(0,0,1)、(1,0,1)、(1,1,1)、(0,1,1)、(,,1).

　　思考：如果把原点取在中间的点(上述两点的中点氯原子)上,以中层面作为xOy平面,结果会怎样呢？

解:把图中的钠原子分成上、中、下三层,中层的钠原子全部在xOy平面上,因此其竖坐标全部是0,所以这四个钠原子所在位置的坐标分别为(,0,0)、(1,,0)、(,1,0)、(0,,0);上层的钠原子全部在与xOy平行的平面上,与轴交点的竖坐标是,所以这五个钠原子所在位置的坐标分别为(0,0, )、(0,1, )、(1,0,