5．函数的单调性、极值与导数

(1)函数的单调性与导数

在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．

(2)函数的极值与导数

①极大值：在点x＝a附近，满足f(a)≥f(x)，当x0，当x>a时，f′(x)<0，则点a叫做函数的极大值点，f(a)叫做函数的极大值；

②极小值：在点x＝a附近，满足f(a)≤f(x)，当xa时，f′(x)>0，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值．

(3)求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值的步骤

①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；

②将函数y＝f(x)的极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值．

6．微积分基本定理

如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么ʃa(b)f(x)dx＝F(b)－F(a)．

7．定积分的性质

(1)ʃa(b)kf(x)dx＝kʃa(b)f(x)dx(k为常数)．

(2)ʃa(b)[f1(x)±f2(x)]dx＝ʃa(b)f1(x)dx±ʃa(b)f2(x)dx.

(3)ʃa(b)f(x)dx＝ʃa(c)f(x)dx＋ʃc(b)f(x)dx(其中a

1．f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．( × )

2．函数f(x)＝sin(－x)的导数是f′(x)＝cos x．( × )

3．若函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续且恒正，则ʃa(b)f(x)dx>0.( √ )

类型一 导数几何意义的应用

例1 设函数f(x)＝3(1)x3＋ax2－9x－1(a>0)，直线l是曲线y＝f(x)的一条切线，当l的斜率最小时，直线l与直线10x＋y＝6平行．