∴＋＋≥＋＋＝＋＋≥＋＋＝a10＋b10＋c10.

　　【变式训练2】证明　由于a，b，c的对称性，不妨设a≥b≥c>0，则≥≥.

　　因而≥≥.

　　又a5≥b5≥c5，

　　由排序不等式，得

　　＋＋≥＋＋＝＋＋.

　　又由不等式性质，知a2≥b2≥c2，≥≥.

　　根据排序不等式，得

　　＋＋≥＋＋＝＋＋.

　　由不等式的传递性知

　　＋＋≤＋＋＝.

　　【例3】【分析】　题中只给出了x>0，但是对于x≥1，x<1并不确定，因此，需要分类讨论．

　　【证明】　(1)当x≥1时，

　　1≤x≤x2≤...≤xn，

　　由排序原理知，

　　1·1＋x·x＋x2·x2＋...＋xn·xn≥xn·1＋xn－1·x＋...＋1·xn，

　　∴1＋x2＋x4＋...＋x2n≥(n＋1)xn.①

　　又∵x，x2，...，xn,1为1，x，x2，...，xn的一个排序，于是由排序原理得1·x＋x·x2＋...＋xn－1·xn＋1·xn≥1·xn＋x·xn－1＋...＋xn－1·x＋xn·1，

　　∴x＋x3＋...＋x2n－1≥nxn.②

　　①＋②，得

　　1＋x＋x2＋...＋x2n≥(2n＋1)xn.

　　(2)当0x>x2>...>xn，同理可得．

　　综合(1)与(2)，所以当x>0时，

　　1＋x＋x2＋...＋x2n≥(2n＋1)xn.

　　【变式训练3】证明　取两组数a，b，c；a2，b2，c2.不管a，b，c的大小如何，a3＋b3＋c3都是顺序和，而a2b＋b2c＋c2a，及a2c＋b2a＋c2b都是乱序和．因此，

　　a3＋b3＋c3≥a2b＋b2c＋c2a，

a3＋b3＋c3≥a2c＋b2a＋c2b.