实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等都需要利用导数求解相应函数的最小值，此时根据f′(x)＝0求出极值点(注意根据实际意义舍去不合适的极值点)后，函数在该点附近满足左减右增，则此时唯一的极小值就是所求函数的最小值．　

　　　一艘轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比．已知速度为每小时10海里时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问轮船的速度是多少时，航行1海里所需的费用总和最小？

　　解：设速度为每小时v海里的燃料费是每小时p元，那么由题设的比例关系得p＝k·v3，其中k为比例系数，它可以由v＝10，p＝6求得，即k＝＝0.006，则p＝0.006v3.又设当船的速度为每小时v海里时，行1海里所需的总费用为q元，那么每小时所需的总费用是0.006v3＋96(元)，而行1海里所需时间为小时，所以行1海里的总费用为q＝(0.006v3＋96)＝0.006v2＋.

　　q′＝0.012v－＝(v3－8 000)，

　　令q′＝0，解得v＝20.

　　因为当v＜20时，q′＜0；当v＞20时，q′＞0，

　　所以当v＝20时q取得最小值，

　　即速度为20海里/小时时，航行1海里所需费用总和最小．

　　探究点3　利润最大问题

　　　某市旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产品的成本是15元，销售价是20元，月平均销售a件，通过改进工艺，产品的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果产品的销售价格提高的百分率为x(0＜x＜1)，那么月平均销售量减少的百分率为x2.记改进工艺后，旅游部门销售该纪念品的月平均利润是y(元)．

　　(1)写出y关于x的函数关系式；

　　(2)改进工艺后，确定该纪念品的售价，使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大．

　　【解】　(1)改进工艺后，每件产品的销售价为20(1＋x)，月平均销售量为a(1－x2)件，则月平均利润y＝a(1－x2)·[20(1＋x)－15](元)，

所以y关于x的函数关系式为y＝5a(1＋4x－x2－4x3)(0＜x＜1)．