三次函数性质的确定与应用 　　

　　 设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.

　　(1)求函数f(x)的单调区间和极值；

　　(2)若关于x的方程f(x)＝a有三个不同实根，求实数a的取值范围；

　　(3)已知当x∈(1，＋∞)时，f(x)≥k(x－1)恒成立，求实数k的取值范围．

　　[自主解答]　(1)∵f′(x)＝3x2－6，

　　令f′(x)＝0，解得x1＝－，x2＝，

　　∴当x＜－或x＞时，f′(x)＞0；

　　当－＜x＜时，f′(x)＜0.

　　∴f(x)的单调递增区间为(－∞，－)和(，＋∞)；

　　f(x)的单调递减区间为(－，)．

　　当x＝－时，f(x)有极大值5＋4；

　　当x＝时，f(x)有极小值5－4.

　　(2)由(1)知，函数y＝f(x)的图象大致形状如图所示，

　　当5－4＜a＜5＋4时，直线y＝a与y＝f(x)的图象有三个不同交点，

　　即方程f(x)＝a有三个不同的解．

　　∴实数a的取值范围是(5－4，5＋4)．

　　(3)f(x)≥k(x－1)，

　　即(x－1)(x2＋x－5)≥k(x－1)．

　　∵x＞1，∴k≤x2＋x－5在(1，＋∞)上恒成立．

　　令g(x)＝x2＋x－5，g(x)在(1，＋∞)上是增函数，

　　∴g(x)＞g(1)＝－3.∴k的取值范围是(－∞，－3]．

　　1．求三次函数的单调区间与极值的问题，求导后转化为一元二次方程及一元二次不等式的求解问题去解决．

2．解决不等式恒成立问题，大多可用函数的观点来审视，用函数的有关性质来处理