提出问题

问题①:引入弧度之后,在平面直角坐标系中,终边相同的角应该怎么用弧度来表示?扇形的面积与弧长公式用弧度怎么表示?

②:填写下列的表格,并找出某种规律.

的长 OB旋转的方向 ∠AOB的弧度数 ∠AOB的度数 πr 逆时针方向 2πr 逆时针方向 r 1 -2 -π 0 180° 360° 活动:教师先点明教科书上为什么设置这个"探究"?其意图是先根据所给图像对一些特殊角填表,然后概括出一般情况.通过学生合作交流,讨论并总结出规律,提问学生的总结情况,让学生板书.教师对做正确的学生给予表扬,对没有总结完全的学生进行必要的提示.

由上表可知,如果一个半径为r的圆的圆心角α所对的弧长是l,那么α的弧度数的绝对值是这里,应当注意从数学思想的高度引导学生认识"换算"问题,即角度制、弧度制都是角的度量制,那么它们一定可以换算.推而广之,同一个数学对象用不同方式表示时,它们之间一定有内在联系,认识这种联系性也是数学研究的重要内容之一.

教师点拨:角的概念推广后,在弧度制下,角的集合与实数集R之间建立起一一对应关系:每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应;反过来,每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应.值得注意的是:今后在表示与角α终边相同的角时,有弧度制与角度制两种单位制,要根据角α的单位来决定另一项的单位,即两项所用的单位制必须一致,绝对不能出现k·360°+或者2kπ+60°一类的写法.在弧度制中,与角α终边相同的角,连同角α在内,可以写成β=α+2kπ (k∈Z)的形式.如图2为角的集合与实数集R之间的一一对应关系.

图2

讨论结果:①与角α终边相同的角,连同角α在内,可以写成β=α+2kπ (k∈Z)的形式.弧度制下关于扇形的公式为l=αR,S=αR2,S=R.

②

的长 OB旋转的方向 ∠AOB的弧度数 ∠AOB的度数 πr 逆时针方向 π 180° 2πr 逆时针方向 2π 360°