一、试题呈现

题目　(2018·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝2sinx＋sin2x，则f(x)的最小值是________．

二、分析解答

分析1　此题中的函数是将正弦函数两次变换相加而得，第一次纵坐标伸长为原来的两倍，横坐标不变；第二次横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变．这个加号有份量，依靠常规的三角运算和方法作答有困难．因此，首先考虑"万能"的导数，找到极值点，求出全部极值，最后取最小的极值作最小值．

方法一　　f′(x)＝2cosx＋2cos2x，由f′(x)＝0得，

2cos2x＋cosx－1＝0，解得cosx＝或cosx＝－1.

所以sinx＝或sinx＝－或sinx＝0.

当sinx＝，cosx＝时，f(x)＝；

当sinx＝－，cosx＝时，f(x)＝－；

当sinx＝0，cosx＝－1时，f(x)＝0.

由三角函数的连续性和有界性，结合极值的概念得

f(x)min＝－.

分析2　从周期的角度考虑，可以判断本函数的周期为2π.用函数在[0,2π]内的最小值作为函数的最小值．整体不易突破，可从局部入手，结合图象变换知，最小值出现在之内，此时可以统一角和三角函数名称，换元后将问题转化成求高次函数的最值．

方法二　由y＝2sinx的最小正周期为2π，y＝sin2x的最小正周期为π，由最小公倍数法知，f(x)的最小正周期为2π.

下面在(0,2π)内研究本函数：

当x∈时，y＝2sinx>0，y＝sin2x>0；

当x∈时，y＝2sinx>0，y＝sin2x<0；

当x∈时，y＝2sinx<0，y＝sin2x>0；

当x∈时，y＝2sinx<0，y＝sin2x<0.

因此，f(x)的最小值出现在之内，此时f(x)＝2sinx(1＋cosx)，进而