因此假设不成立，故y=f(x)在区间[a，b]上有且只有一个零点.

19．（12分）如图所示，在边长为60 cm的正方形铁片的四角上切去相等的正方形，再把它沿虚线折起，做成一个无盖的长方体箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？

　解：设箱子的底边长为x cm，则箱子高h＝ cm.

　　　箱子容积V＝V(x)＝x2h＝(0

　　　求V(x)的导数，得V′(x)＝60x－x2＝0，

　　　解得x1＝0(不合题意，舍去)，x2＝40.

　　　当x在(0,60)内变化时，导数V′(x)的正负如下表：

x (0,40) 40 (40,60) V′(x) ＋ 0 － 　　因此在x＝40处，函数V(x)取得极大值，并且这个极大值就是函数V(x)的最大值．

　　将x＝40代入V(x)得最大容积V＝402×＝16 000(cm3)．

　　所以箱子底边长取40 cm时，容积最大，最大容积为16 000 cm3.

20．（12分）设f(n)＝1＋＋＋...＋，是否有关于自然数n的函数g(n)，使等式f(1)＋f(2)＋...＋f(n－1)＝g(n)[f(n)－1]对n≥2的一切自然数都成立？并证明你的结论．

　　解：　当n＝2时，f(1)＝g(2)[f(2)－1]，

　　得.

　　当n＝3时，f(1)＋f(2)＝g(3)[f(3)－1]，

　　得＝＝3.

　　猜想g(n)＝n(n≥2)．

　　下面用数学归纳法证明：当n≥2时，等式f(1)＋f(2)＋...＋f(n－1)＝n[f(n－1)]恒成立．

　　(1)当n＝2时，由上面计算知，等式成立．

　　(2)假设n＝k时等式成立，即f(1)＋f(2)＋...＋f(k－1)＝k[f(k)－1](k≥2)，

　　那么，当n＝k＋1时，

　　f(1)＋f(2)＋...＋f(k－1)＋f(k)

＝k[f(k)－1]＋f(k)＝(k＋1)f(k)－k