【答案】(2√3)/3

6.已知双曲线E:x^2/a^2 -y^2/b^2 =1(a>0,b>0)的左、右顶点分别为A、B,点M在E上,△ABM为等腰三角形,且顶角θ满足cos θ=-1/3,则E的离心率为　　　　.

　　【解析】设点M在第一象限,△ABM是等腰三角形,则有AB=BM,由cos θ=-1/3得sin θ=(2√2)/3,所以M点坐标为(a+2a×1/3 "," 2a×(2√2)/3),即(5/3 a"," (4√2)/3 a),代入双曲线方程有25/9-(32a^2)/(9b^2 )=1,b2=2a2,又因为b2=c2-a2,所以c2-a2=2a2,c^2/a^2 =3,e=c/a=√3.

　　【答案】√3

7.已知动直线l的倾斜角为45°,若l与抛物线y2=2px(p>0)交于A,B两点,且A,B两点纵坐标之和为2.

(1)求抛物线方程;

(2)若直线l'与l平行,且l'过原点关于抛物线的准线与x轴的交点的对称点,M为抛物线上一动点,求动点M到直线l'的最小距离.

　　【解析】(1)设直线l的方程为y=x+b,A(x1,y1),B(x2,y2),将x=y-b代入y2=2px,得y2-2py+2pb=0.

　　由题意知y1+y2=2p=2,得p=1.

　　故抛物线方程为y2=2x.

　　(2)抛物线y2=2x的准线与x轴的交点为("-" 1/2 "," 0),则l'过点(-1,0),所以l'的方程为y=x+1,

　　故点M(x,y)到直线l'的距离d=("|" x"-" y+1"|" )/√2.

　　因为点M(x,y)在抛物线y2=2x上,

　　所以d=|y^2/2 "-" y+1|/√2=("|" y^2 "-" 2y+2"|" )/(2√2)=("|(" y"-" 1")" ^2+1"|" )/(2√2).

　　故当y=1时,d的最小距离为√2/4.

拓展提升(水平二)

8.若点O和点F分别为椭圆x^2/4+y^2/3=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则(OP) ⃗·(FP) ⃗的最大值为(　　).

　　A.21/4 B.6 C.8 D.12

　　【解析】设点P(x,y),则(OP) ⃗·(FP) ⃗=(x,y)·(x+1,y)=x2+x+y2,

　　因为点P在椭圆上,所以x^2/4+y^2/3=1,

　　所以x2+x+(3"-" 3/4 x^2 )=1/4x2+x+3=1/4(x+2)2+2,又-2≤x≤2,

　　所以当x=2时,1/4(x+2)2+2取得最大值为6,

　　即(OP) ⃗·(FP) ⃗的最大值为6,故选B.

　　【答案】B

9.已知双曲线x^2/a^2 -y^2/b^2 =1(a>0,b>0)的实轴长为4√2,虚轴的一个端点与抛物线x2=2py(p>0)的焦点重合,直线y=kx-1与抛物线相切且与双曲线的一条渐近线平行,则p的值为(　　).

　　A.4 B.3 C.2 D.1

【解析】抛物线x2=2py的焦点为(0"," p/2),所以可得b=p/2,因为2a=4√2⇒a=2√2,所以双曲线方程为x^2/8-(4y^2)/p^2 =1,可求得其渐近线方程为y=±p/(4√2)x,不妨设y=kx-1与y=p/(4√2)x平行,则有k=p/(4√2).