参考答案

1．（1）x^2/9+y^2=1；（2）10/9．

【解析】试题分析：（1）将x=ρcosθ,y=ρsinθ,x^2+y^2=ρ^2代入曲线的方程，即可求得曲线的普通方程；

（2）因为题意得1/ρ^2 =(cos^2 θ)/9+sin^2 θ，由OA⊥OB，设A(ρ_1,α)可得B(ρ_2,α±π/2)，

即可求解。

试题解析：

(Ⅰ）由ρ^2="9" /(cos^2 θ+"9" sin^2 θ)得ρ^2 cos^2 θ+"9" ρ^2 sin^2 θ="9" ，

将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入得到曲线C的普通方程是x^2/"9" +y^2=1．

（Ⅱ）因为ρ^2="9" /(cos^2 θ+"9" sin^2 θ)，

所以1/ρ^2 =(cos^2 θ)/"9" +sin^2 θ，

由OA⊥OB，设A(ρ_1,α)，则B点的坐标可设为(ρ_2,α±π/2)，

所以1/(|OA|^2 )+1/(|OB|^2 )=1/(ρ_1^2 )+1/(ρ_2^2 )=(cos^2 α)/"9" +sin^2 α+(sin^2 α)/"9" +cos^2 α=1/"9" +"1"=10/"9" ．

2．（1）y=2x+1 ，y^2=16x ；（2）(8√10)/35 .

【解析】

【分析】

（1）直线的参数方程消去t可求得普通方程。由直角坐标与极坐标互换公式{█(█(x=ρcosθ@y=ρsinθ)@x^2+y^2=ρ^2 ) ，求得曲线C普通方程。（2）直线的参数方程改写为{█(x=1+√5/5 t@y=3+(2√5)/5 t) （t为参数），由t的几何意义求值。

【详解】

(1)直线l的参数方程为{█(x=1+t@y=3+2t) (t为参数)，消去参数，可得直线l的普通方程y=2x+1，

曲线C的极坐标方程为ρsin^2 θ-16cosθ=0，即ρ^2 sin^2 θ=16ρcosθ，曲线C的直角坐标方程为y^2=16x，