2018-2019学年北师大版选修1-1 3.4 习题课 导数四则运算的应用 作业
2018-2019学年北师大版选修1-1 3.4 习题课 导数四则运算的应用 作业第2页

6.已知f(x)=1/3x3+3xf'(0),则f'(1)=     .

解析:∵f(x)=1/3x3+3xf'(0),

  ∴f'(x)=x2+3f'(0).

  把x=0代入,得f'(0)=0+3f'(0),∴f'(0)=0.

  ∴f'(x)=x2.f'(1)=1.

答案:1

7.若曲线f(x)=ax3+ln x存在垂直于y轴的切线,则数a的取值范围是     .

解析:f'(x)=3ax2+1/x,

  ∵f(x)存在垂直于y轴的切线,

  ∴f'(x)=0有解,即3ax2+1/x=0有解.

  ∴3a=-1/x^3 .

  而x>0,∴a∈(-∞,0).

答案:(-∞,0)

8.曲线y=ex在点(2,e2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为     .

解析:因为y'=ex,所以k=f'(2)=e2.

  所以切线方程为y-e2=e2(x-2).

  当x=0时,y=-e2;当y=0时,x=1.

  所以切线与坐标轴围成的三角形的面积为S=1/2×1×e2=e^2/2.

答案:e^2/2

9.曲线S:y=ax3+bx2+cx+d在点A(0,1)处的切线为l1:y=x+1,在点B(3,4)处的切线为l2:y=-2x+10,求a,b,c,d的值.

解:由已知条件可得y'=3ax2+2bx+c,故有

  {■(c=1"," @27a+6b+c="-" 2"," @d=1"," @27a+9b+3c+d=4"," )┤0├ ■("①" @"②" @"③" @"④" )┤

  将c=d=1代入②④,得

  {■(27a+6b="-" 3"," @27a+9b=0"," )┤于是{■(b=1"," @a="-" 1/3 "." )┤

  故a=-1/3,b=1,c=1,d=1.

10.已知曲线f(x)=1/ax2-1(a>0)在x=1处的切线为l,求l与两坐标轴围成的三角形面积的最小值.

解:∵f'(x)=2/ax,则f'(1)=2/a,又f(1)=1/a-1,

  ∴切点为(1"," 1/a "-" 1),切线l的方程为y-1/a+1=2/a(x-1).

  令x=0,得y=-1/a-1;

  令y=0,得x=1/2(a+1).

  所以切线l与两坐标轴围成的三角形面积S=1/2 |"-" 1/a "-" 1|·|1/2 "(" a+1")" |=1/4 (a+1/a+2)≥

1/4 (2√(a"·" 1/a)+2)=1/4×4=1,当且仅当1/a=a(a>0),即a=1时等号成立,因此,所求面积的最小值为1.