矩阵与编码

第1章 近世代数基础

1.1 群的基本概念

1.1.1 半群

1.1.2 群的定义

1.1.3 子群

1.1.4 正规子群

1.2 环的基本概念

1.2.1 环的定义

1.2.2 子环与理想

1.3 整环与因式分解

1.3.1 整环与特征

1.3.2 整除

1.3.3 唯一分解环

1.3.4 有限域

1.4 整数环与多项式环

1.4.1 整数环中标准分解式

1.4.2 整数环中的同余

1.4.3 多项式环

习题1

第2章 交换环上的矩阵

2.1 一般域上的线性空间和交换环上的模

2.1.1 一般域上的线性空间

2.1.2 交换环上的模

2.2 交换环上的矩阵代数

2.2.1 交换环上矩阵的概念

2.2.2 交换环上矩阵的运算

2.2.3 交换环上方矩阵的行列式

2.2.4 交换环上的可逆矩阵

2.2.5 交换环上矩阵的秩

2.2.6 交换环上线性方程组

2.2.7 交换环上矩阵的标准形

2.3 有限域上的特殊矩阵与矩阵计数

2.3.1 一般线性群GLn（Fq）和特殊线性群SLn（Fq）及其计数

2.3.2 幂等矩阵及其计数

2.3.3 对合矩阵及其计数

习题2

第3章 纠错码

3.1 纠错码的一般理论

3.1.1 纠错码的思想

3.1.2 纠错码的数学定义

3.1.3 Hamming距离

3.1.4 纠错码的纠错.检错能力

3.1.5 纠错码的界

3.2 线性码

3.2.1 线性码与生成矩阵

3.2.2 校验矩阵

3.2.3 线性码的最小距离

3.2.4 线性码的一般译码方法

3.3 Hamming码

3.3.1 Hamming界

3.3.2 Hamming码的概念

3.3.3 二元Hamming码的译码方法

3.4 循环码

3.4.1 循环码的定义

3.4.2 BCH码

3.4.3 Reed-Solomon码

习题3

第4章 公钥密码

4.1 基本概念

4.1.1 密码起源

4.1.2 密码系统

4.1.3 密码系统的安全性

4.1.4 现代公钥密码

4.2 背包体制

4.2.1 背包问题

4.2.2 Merkle-Hellman背包体制

4.3 RSA体制

4.3.1 大整数分解问题

4.3.2 RSA体制

4.3.3 RSA体制的安全性

4.4 离散对数体制

4.4.1 离散对数问题

4.4.2 离散对数体制

4.4.3 离散对数体制的安全性

4.5 其他公钥密码体制

4.5.1 环上矩阵模掩盖下的背包体制

4.5.2 Rabin公钥密码体制

4.5.3 概率公钥密码体制的基本思想

4.6 密钥分散管理

4.6.1 （K，n）门限方案的概念

4.6.2 基于有限域上多项式的门限方案

4.6.3 基于孙子定理的门限方案

习题4

第5章 认证码

5.1 认证码及其构作

5.1.1 认证码的概念

5.1.2 利用矩阵构作认证码

5.2 带仲裁的认证码及其构作

5.2.1 带仲裁的认证码的概念

5.2.2 带仲裁的认证码的构作

习题5

参考文献

《大学数学选修课丛书》书目

《矩阵与编码》介绍纠错码、现代密码和认证码的基本理论及其实现方法。作为预备知识，《矩阵与编码》回顾性地介绍近世代数中的基本概念、基本理论，随后介绍在纠错码、现代密码和认证码的理论中起重要作用的交换环上的矩阵理论。《矩阵与编码》侧重于数学在纠错码、现代密码和认证码的理论中的应用，内容全面，文字简练，概念清楚，深入浅出，便于理解。《矩阵与编码》适合作为高等院校数学本科各专业特别是信息与计算科学专业高年级有关选修课程的简明教材，也可供对纠错码、现代密码和认证码有兴趣的技术人员及高等院校有关专业的教师参考。

精炼素材，以利于短时间内了解掌握最基本理论和方法
侧重于数学在纠错码、现代密码和认证码中的应用
适当配备例题、习题，便于理解相关概念、理论和方法